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SUR L'EXTKNSION DU THEOREMS DE M. STURM.
Cela etant, conside'rons le rapport |
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pour une valeur de vj voisine d'une racine JK«; son sigvne dependra
v ( 3? IS £ Yl ^
du seal terme - - =-f; —
— ~ 2* ' * *
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nous avons etabli relativement au numerateur, du seul facteur
- Or, deuxcas sont a distinfftier; en premier lieu,
' & ' i |
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si 3?w — ^0 est positif, ce rapport sera ne"gatif pour une valeur de r\
un peu infdrieure a JKW, et positif pour une valeur un peu supe- rieure; done alors une variation se change en permanence dans le poljnome A(£, TJ), lorsque YI atteint et depasse la racineyw. Mais si nous supposons en second lieu #w — ^0 ndgatif, c'est (5videmment le contra'ire qui arrive : c'est une variation qui s'introduit dans A(£, vj) lorsque v\ f ran chit la valeur yw. II est facile de conclure de la la signification de la difference <1^iii.0n — ^.n,? c'est-a-dire des series du nombre des variations du polynome A(^0,^o)? sur ^e nombre des variations de A(£0, v)i). Considdrons sc^ comme 1'abscisse et JKW comme 1'ordonnde cl'un point rapporte" k deux axes rectangulaires dans un certain plan, de sorte qu'a chaque solution du systeme de nos Equations corresponde un point d^ter- min^. Cela dlant, si nous inenons deux paralleles a 1'axe des abscisses par les points dont les coorclonne'es seratent |
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les points auxquels correspondent des solutions et qui seront com-
pris dans 1'inte'rieur des deux paralleles se partag'eront en deux group es £o) selon que leurs abscisses seront plus grandes ou plus petites que ^0. On voit que ceux du premier groupe seront a clroite de I'ordonne'e verticale mene'e par le point (^0, T}O), et les autres a gauche. Done, lorsque la quantite" t\ varie d'une maniere continue de v)0 a 7],, le polynome A(£, yj) perd a LI tan t de variations qu'il existe de points dans le premier groupe, et en gagne autant qu'il en existe clans le second. Soient done respectivement 3L et 3^' le |
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